# 傅立葉級數的頻譜

如果說「所有的波形都可以藉由 $$sin(x)$$和 $$cos(x)$$ 等弦波疊加起來」你相信嗎？ 傅立葉級數說明了這一切，下圖為時域與頻域對照圖，第三欄的波形為第二欄所有波形的疊加，第四欄則是第三欄的頻譜。所以**在時域看似複雜的波形在頻域卻是單純的頻率分量** 

<figure><img src="/files/EDDHCa8QaoM6fypO6lxN" alt=""><figcaption><p>傅立葉級數</p></figcaption></figure>

接下來，讓我們回想中學的數學如何定義弦波：&#x20;

<figure><img src="https://i.imgur.com/VxUCO6v.png" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓:

<figure><img src="https://i.imgur.com/qggftoY.gif" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

* 動圖出處: [File:Fourier series square wave circles animation.gif](http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif)

![](https://i.imgur.com/G0iS9cn.gif)

* 動圖出處: [File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif](http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif)

介紹頻域的基本組成單元後，我們就可觀察一個矩形波，在頻域裡截然不同的面貌：&#x20;

<figure><img src="https://i.imgur.com/aqKXAyi.jpg" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

這是什麼怪東西？ 這是矩形波在頻域的模樣，是不是完全認不出來？沒關係，我們再來對照頻域圖像，也就是俗稱的頻譜:

<figure><img src="https://i.imgur.com/cUuIRiu.jpg" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

再清楚一點：&#x20;

<figure><img src="https://i.imgur.com/8aHWGyk.jpg" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

不難發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是 0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的弦波。

<figure><img src="https://i.imgur.com/RUUi7iD.gif" alt=""><figcaption></figcaption></figure>

* 動圖出處: [File:Fourier series and transform.gif](http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_and_transform.gif)

想像一下，世界上每個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的弦波組成。我們看似不規律的事情反而是規律的弦波在時域上的投影，而弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。


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