傅立葉級數的相位譜

傅立葉級數的相位譜

上面的觀點是「從側面看」，接著我們改變視角為「從下面看」。

傅立葉分析究竟可做什麼？無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生 —— 頻道。頻道就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行資訊傳遞。下面大家嘗試一件事：

透過 Google 搜尋 (對！把數學式貼入搜尋列即可製圖) 為 $sin(x)$ 製圖:

接著繪製 $sin(3x)+sin(5x)$。

倘若我把 $sin(3x)+sin(5x)$ 的曲線給你，但前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把 $sin(5x)$ 這項從圖裡移出，看看剩下的是什麼。這幾乎無法徒手達成。但在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

• 動畫取自 Phase modulation

所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅立葉轉換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕鬆達成

經由時域到頻域的變換，我們得到一個從側面看的頻譜，但這個頻譜沒有包含時域中全部的資訊。因為頻譜只代表每一個對應的弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的弦波 $Asin (wt+\theta)$ 中，振幅、頻率，和相位缺一不可，不同相位決定波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）不夠，我們還需要一個相位譜。那麼這個相位譜在哪呢？我們看下圖，為了簡化，我們用 7 個波疊加的圖。

考慮到弦波是週期的，我們需要設定一個用來標記弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標注了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位。

這裡需要釐清一個概念：時間差並不是相位差。如果將全部週期看作 $2\pi$ 或者 360 度的話，相位差則是時間差在一個週期中所占的比例。我們將時間差除週期再乘 $2\pi$，就得到相位差。 　　 在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。

注意到，相位譜中的相位除了 0，就是 $\pi$。因為 $cos(t+\pi)=-cos(t)$，所以實際上相位為 $\pi$ 的波只是上下翻轉了而已。對於週期矩形波的傅立葉級數，這樣相位譜已是很單純了。另外值得注意到，由於 $cos(t+2\pi)=cos(t)$，所以相位差是週期的， $\pi$ 和 $3\pi, 5\pi, 7\pi,$ 都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為 $(-\pi, \pi]$，所以圖中的相位差均為 $\pi$。 最後來一張大集合：