歐拉公式

歐拉公式

在高中數學有提到複數， $z = a +bi$ ，極式為 $z = r(cos\theta + isin\theta)$，如下圖所示：

虛數 $i$ 這個概念在中學時期就接觸，一開始我們只知道它是 -1 的平方根，但 $i$ 真正的意義是什麼呢?

這裡有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是 1。當它乘以 3 時，它的長度發生變化，變成藍色的線段，而當它乘以 -1 時，就變成綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉 180 度。

我們知道乘 -1 其實是乘兩次 $i$ 使線段旋轉 180 度，那麼乘一次 $i$ 是什麼呢？很簡單，旋轉 90 度。

同時，我們得到一個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸共同搆成一個複數的平面，也稱複平面。於是我們可發現，乘上虛數 $i$ 的作用就是在複平面之上進行「旋轉」。

那歐拉公式到底是什麼呢？

$$\begin{gather*} e^{ix} = \cos x + i\sin x \end{gather*}$$

這個公式關鍵的作用，是將弦波統一成了簡單的指數形式。我們來看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在複平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的餘弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。